Demostraciones mediante inducción

Demostraciones mediante inducción
1.- Usa el método de inducción para demostrar que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2
Solución: Sea P(n) la preposición que afirma que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2. En primer lugar debemos completar el caso base: debemos verificar que P(1) es verdadero. Luego llevamos a cabo el paso de inducción esto es debemos demostrar que p (k+1) es verdadera cuando se supone que P(k) es verdadera.
Paso base: P(1) afirma que la suma del primer entero es impar es 12. Esto es cierto puesto que el primer entero impar es 1.
Paso de inducción
Para a completar el paso de inducción debemos demostrar que la preposición
P(k) = p(k+1) es verdadera para todo entero positivo k esto es:
1+3+5+….+.. (2k-1) = k2.
Observa que k decimo entero positivo impar es (2k-1) ya que esta entero se obtiene sumando 2 en un total. Se tiene en cuenta que p(k+1) es verdadera suponiendo que p(k) es verdadera que p(k+1) es la sentencia que afirma que 1+3+5+…+(2k-1)+(2k-1) = (k+1)2
Por lo tanto suponiendo que p(K) es verdadera se sigue que
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) = [1+3…+(2k-1)]+(2k-+1)
= k2 + (2k+1)
= k2 + 2k+1
= (k+1)2
Esto demuestra que P(K) = p(k+1). Se observa que se ha usado la hipótesis de inducción P(k) en la segunda igualdad para reemplazar la suma de los primeros k enteros por k2.
Puesto que p(1) es verdad y que p(K) = p(k+1) también lo es para todo entero positivo k el principio de inducción matemática muestra que P(n) es verdadera para todo entero positivo n.
2.- Usa el método de inducción para demostrar la desigualdad de n < 2n
Para todo entero positivo n.
Solución: sea P(n) la proposición n < 2n
Paso base: P(1) es verdadera puesto que 1<21 = 2
Paso de inducción: suponiendo que P(K) es verdadera para el entero positivo k. esto es suponemos que k < 2k. Necesitamos demostrar que P(K+1) es verdadera. Tenemos que ver que k + 1 < 2k+1. Sumando 1 en ambos lados de la desigualdad k<2k y teniendo en cuenta que 1 ≤ 2k tenemos
K+1 < 2k+1 ≤ 2k+2k = 2k+1
Hemos demostrado que P(k+1) es verdadera es decir que k + 1<2k+1 besándonos en la suposición de que P(K) es verdadera.
Se ha completado el paso de inducción matemática se ha demostrado que n < 2n para todo n positivo.
3.- Utiliza la inducción matemática para demostrar que 2n < n! para todo entero positivos n mayor o igual que 4.
Solución: sea P(n) la preposición que a firma que 2n < n!
Paso base: para demostrar la desigualdad para n ≥ 4 se requiere que el paso base sea P(4). Observa que p(4) es verdadera puesto que 24 = 16 <4! = 24
Paso de inducción: supongamos que P(k) es verdadera. Esto es que 2k < k! debemos demostrar que P(K+1) es verdadera esto es tenemos que demostrar que 2k+1 < (K+1)! Multiplicando ambos lados de la desigualdad 2k < k tenemos que
2.2k < 2.k!
< (k+1).k!
= (k+1)!
Esto demuestra que P(K+1) es verdadera cuando P(K) es verdadera lo que completa el paso de inducción de la demostración. Por lo tanto se ha demostrado que 2n < n! es verdadera para todo entero n n ≥ 4.

4.- Utiliza el método de inducción para demostrar que n3 - n es divisible entre 3 siempre que n sea un entero positivo.
Solución: para construir la demostración definamos P(n) como la sentencia n3-n sea entero positivo.
Paso base: P(1) es verdadera puesto que 13 + 1 = 0 es divisible entre 3
Paso de inducción: supongamos que P(k) es verdadera esto es que k3 – k es divisible por 3. Debemos mostrar que P(k+1) es verdadera esto es tenemos que demostrar que (k+1)3 – (k+1) es divisible por 3.
(k+1)3 – (k+1) = (k3 + 3k2 + 3k +1) – (k+1)
= (k3-k) + 3(k2+k)
Como los términos de esta suma son divisibles entre 3 (el primero por la suposición del paso de inducción y el segundo por que es tres veces un entero) se sigue que (k+1)3 + (k+1) también es divisible por 3. Esto completa el paso de inducción matemática por lo tanto n3 – n es divisible por 3 para todo n entero positivo.
5.- El número de subconjunto de un conjunto finito. Demuestra por inducción que si S es un subconjunto finito con n elementos entonces S tiene 2n subconjuntos.
Solución: sea P(n) la preposición que afirma que un conjunto con n elementos tiene 2n subconjuntos.
Paso base: P(0) es verdadera puesto que un conjunto con cero elementos el conjunto vacio tiene exactamente 20 = 1 subconjuntos; el único subconjunto que tiene es el mismo.
Paso de inducción: supongamos que P(k) es verdadera por lo que todo conjunto tiene 2k subconjuntos. Se deben demostrar que bajo esta suposición P(k+1) la sentencia que afirma que todo conjunto de k+1 elementos tiene 2k+1 subconjuntos debe ser también verdadera.